Just another WordPress.com site

Modul SMA Statistika

23 April 2011

STATISTIKA

STANDAR KOMPETENSI:

1. Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah.

KOMPETENSI DASAR

1.1 Membaca data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive

1.2 Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive serta penafsirannya

1.3 Menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran data, serta penafsirannya

INDIKATOR

Membaca sajian data dalam bentuk diagram garis, diagram lingkaran dan diagram batang.

Mengidentifikasi nilai suatu data yang ditampilkan pada tabel dan diagram

Menyajikan data dalam bentuk diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive serta penafsirannya

Menafsirkan data dalam bentuk diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive

Membaca sajian data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram.

Menyajikan data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram.

Menentukan rataan, median, dan modus.

Memberikan tafsiran terhadap ukuran pemusatan.

PENGERTIAN

STATISTIKA adalah ilmu yang mempelajari cara mengumpulkan, menyajikan, mengolah data, dan menarik kesimpulan.

Dari seg pengerjaannya statistik terbagi tiga sebagai berikut :

Statistik yang mengungkap tentang pengumpilan data. Pekerjaan ini serig disebut statistika compiling.
Statistika yang mengupas tentang cara menyusun, menyajikan,dan mengolah data. Pekerjaan ini sering disebut statistika deskriptif
Statistika yang mengupas tentang cara menyimpulkan data yang telah dsusun. Pekerjaan ini sering disbut statistika induktif

PENGUMPULAN DATA

Langsung pada objek yang akan diteliti melalui wawancara atau angket dan melalui narasumber atau lembaga data.

PENYAJIAN DATA

Dapat disajikan dalam berbagai bentuk antara lain : daftar / tabel, tabel frekuensi dan diagram.

1. Daftar (tabel)

Data yang telah terkumpul perlu disusun agar mudah dibaca. Perlunya penyajian data dalam suatu bentuk akan lebih jelas degan melihat contoh berikut :

Tabel 1.1

Banyaknya pelajar SMAN 1 Bantul tahun 2007

Kelas	Jenis kelamin		Jumlah
Kelas	Laki-laki	perempuan	Jumlah
Kelas 1	90	70	160
Kelas 2	85	77	162
Kelas 3	80	78	158
Jumlah	255	225	480

Dengan melihat dan mengamati data dalam tabel 1.1 diatas, dapat mengetahui dengan mudah jumlah pelajar perempuan kelas 2 SMAN 1 Bantul tahun 2007

2. Tabel Frekuensi

Diperoleh data nilai ulangan matematika 40 siswa, yaitu :

50, 75, 65, 60, 95, 55, 70, 50, 55, 65, 75, 90, 55, 45, 80, 65, 70, 40, 65, 60, 90, 70, 80, 65, 70, 40, 65, 60, 90, 70, 80, 45, 80, 75, 55, 45, 90, 75, 75, 75, 85, 55, 80, 45.

Tabel frekuensi data ulanga Matematika disajikan dalam bentuk tabel berikut ini.

Tabel 1.2 Tabel frekuensi nilai ulangan matematik.

nilai

Turus

frekuensi

IIIII

III

IIIIII

IIIII

III

Jumlah

Tabel 1.6

Bulan

Banyaknya celana panjang (kodi)

Juli

Agustus

September

Oktober

November

Desember

Dari diagram diatas bisa dibaca kecenderungan data dari waktu ke waktu.

Memprediksi nilai data pada interval waktu pengamatan bisa ditentukan dengan interpolasi, sedangkan memprediksi nilai data di luar interval waktu pengamatan disebut ekstapolasi. Diagram garis dari data di atas dapat disajikan seperti pada gambar berikut.

Dari tabel frekuensi daiatas dapat dilihat siswa yang memperoleh nilai dibawah atau diatas nilai tertentu, tabel frekuensi kumulatif kurag dari atau lebih dari.

Tabel 1.3

Nilai

Frekuensi Kumulaitf kurang dari

40455055

100

0168

Tabel 1.4

Nilai

Frekuensi Kumulaitf lebih dari

100

DIAGRAM LINGKARAN

Misal penduduk kecamatan kasihan mempunyai penghasilan pertanian sebagai berikut.

37% berpenghasilan dari gabah

20% berpenghasilan dari perikanan

34% berpenghasilan dari sayuran

9% berpenghasilan dari tani lainnya.

Diagram lingkaran dari presentase data di atas dapat dibuat dari mengalikan nilai prosentase dengan 360 (satu putaran)

Dari data penghasilan pertanian tersebut , diperoleh:

Presentase gabah adalah

Presentase sayuran adalah

Presentase perikanan adalah

Presentase tani lainnya adalah

Berdasarkan angka-angka yang diperoleh, diagram lingkarannya sebagai berikut :

Diagram lingkaran penghasilan pertanian penduduk kecaatan kasihan.

DIAGRAM LAMBANG

Pada diagram ini, melukiskan sejumlah data. Diagram seperti ini lebih efektif untuk kumpulan data besar. Namun jika bentuk data yang diolah tidak bulat, agak sulit untuk membuatnya.

Misalnya penduduk kota yogyakarta pada setiap 100 ribu orang dilambangkan dengan gambar manusia. Tetapi bagaimana jika jumlah sisa terakhirnya adalah 75 ribu orang?

Untuk itu biasanya dilakukan pembulatan apakah terhadap persepuluhan, perseratusan, atau perseribuan.

DISTRIBUSI FREKUENSI

Distribusi ini dibuat jika kita ingin mengelopmpokkan data. Tersedia data hasil ulangan matematika dari 40 siswa berikut ini :

49, 61,80, 84, 64, 77, 60, 45, 89, 75, 74, 52, 78, 59, 80, 62, 52, 72, 48, 69, 75, 90, 85, 74, 62, 47, 77, 76, 45, 82, 90, 66, 70, 60, 80, 83, 87, 86, 73, 50.

Langkah-langkah untuk memasukkan data ke dalam distribusi frekuensi sebagai berikut.

Tentukan skor maksimum (nilai tertinggi) dan skor minimum (nilai terendah).

Skor maksimum = 90.

Skor minimum = 45.

Sebaran (range = rentangan) = Rg,

Rg = skor maksimum – skor minimum.

Rg = 90-45 = 45

Tentukan banyaknya kelompokan (interval kelas). Untuk menentukan interval kelas bisa digunakan aturan “STURGES” dengan rumus : k dengan

n : banyaknya data

dapat dibulatkan menjadi 7 kelas atau 7 kelompok (tidak ada aturan yang pesti tentang pembulatan ini)

Aturan ini tidak selalu harus digunakan, hanya sebagi pikiraan. Sebaiknya k berada dalam interval dan bergantung pada pertimbangan data yang ada. Jika k terlalu besar, mungkin saja ada interval kelas yang frekuensinya nol (0), begitu juga sebaliknya.

Tentukan lebar interval atau panjang kelas (l), yaitu selisih antara batas bawah/atas dua interval kelas yang berdekatan. Lebar iterval dapat dicari dengan rumus berikut.
Tentukan batas bawah interval kelas yang mengandung skor minimum.

Distribusi frekuensi data diatas dengan mengambil k=7, I=7, dan skor terendah 45 disajikan pada dibawah ini.

No Kelas

Nilai

Turus

Frkuensi (f)

45-51

52-58

59-65

66-72

73-79

80-86

87-93

IIIII I

IIIII II

IIII

IIIII IIII

IIIII III

IIII

Jumlah

D. Histogram dan Poligon Frekuensi

Histogram merupakan grafik distrbusi frekuensi yang terbentuk persegi panjang degan sisi-sisi yang saling berimpit.

Jika titik tengah pada setiap sisi atas dan sisi tengah yang diperoleh saling dihubungkan, akan tampak garis patah-patah yang disebut poligon frekuensi

Dari distribusi frekuensi juga dapat dibuat distribusi kumulatif kurang dari dan distribusi kumulatif lebih dari. Grafik ini disebut ogive.

hitogram

Poligon frekuensi

44,5 51,5 58,5 65,5 72,5 79,5 86,5 93,5 nilai

UKURAN GEJALA PUSAT

Ukuran gejala pusat adalah nilai tunggal yang mewakili semua data atau kumpulan pengamatan dan nilai tersebut menunjukan pusat data.

a. Rata-rata hitung

Rata-rata hitung dari sekumpulan bilangan adalah jumlah bilangan dibagi banyaknya bilangan. Misal ada n buah data :

Rata-rata hitung atau

Degan

M = rata-rata sementara,

Jadi ada n buah data masing-masing mempunyai frekuensi

atau

Dengan M = rata-rata sementara.

Contoh :

Hitunglah nilai rata-rata dari data berikut 3, 1, 4, 7, 9, 4!

Jawab :

Cara 2 :

Mengambil nilai rata-rata sementara M, misal M=4

Contoh :

Misal tabel frekuensi seperti dibawah ini.

Tentukan rata-rata hitungnya (tanpa dan menggunakan rata-rata sementara M=5)!

Jawab :

125

-3

-21

203

Rata-rata hitungnya dapat dicari dengan 2 cara, yaitu : atau

B. Rata-rata hitung gabungan

Contoh :

Misal banyaknya siswa kelas 1 adalah 100 orangm rata-rata nilai ulangan matematka adalah 7,5. Banyaknya siswa kelas 2 adalah 90 orang, rata-rata nilai ulangan matematikanya adalah 8, serta banyaknya siswa kelas3 adalah 80 orang, rata-rata nilai ulangan matematikanya adalah 8,5.berapakah rata-rata gabungan nilai ulangan matematika?

Jawab : jika rata-rata gabungan nilai ulangan matematika, maka :

Contoh :

Nilai rata-rata nilai tes matematika 10 siswa adalah 55. Jika digabung dengan 5 siswa lainnya, nilai rata-rata menjadi 53, tentukan nilai rata-rata dari 5 siswa tersebut!

Jawab :

A adalah jumlah nilai dari 10 siswa

B adalah jumlah nilai dari 5 siswa

C adalah jumlah nilai dari (A+B)

B = C – A = 795 – 550 = 245

Jadi, nilai rata-rata dari 5 siswa adalah 49.

C. Median (Me)

Median adalah nilai tengah dari suatu bilangan yang setelah disusun menurut urutan besarnya. Jika datanya tidak berkelompok, median dapat dicari dengan cara berikut ini.

Susun data menurut besarnya, dimulai dari data terkecil.
Median adalah data yang ke-

D. Median untuk data kelompok

Untuk data kelompok, rumus median adalah Me=Tb + l

Me : median

Tb : tepi bawah

l : panjang kelas

F : jumlah frekuensi kelas-kelas yang lebih rendah dari kelas median.

f : frekuensi kelas median.

Tb yaitu batas bawah dikurangkan dengan 0,5. Sedangkan tepi batas atas ditambahkan dengan 0,5.

Contoh :

Carilah meian dari data 3, 4, 8, 1, 2, 5, 6!

Jawab :

Data disusun : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8. Letakan data median adalah data ke . Besarnya data ke-4 adalah 4. Jadi, mediannya adalah Me= 4.

Contoh :

Carilah median dari data 4, 2, 3, 5, 6, 7.!

Jawab :

Data disusun 2, 3, 4, 5, 6, 7. Letak median adalah data ke- jadi , mediannya adalah 4,5.

Contoh :

Misal ada sebuah dstribusi frekuensi sebagai berikut :

Nilai

frekuensi

1 – 3

4 – 6

7 – 9

Carilah mediannya!

Jawab :

Median dari nilai diatas adalah nilai dari data ke 20 atau ke 21. Data ke 20 atau ke 21 terletak pada kelas kedua yang batas bawahnya 4 dan batas atasnya 6. Tepi bawahnya 3,5 dan tepi atasnya adalah 6,5.

n= 40; Tb = 3,5; l = 3; F = 7; f = 25

Me = 3,5 + 3

= 3,5 + 3

= 3,5 + 1,56

= 5,06

Contoh :

Data berikut ini adalah data berat badan sekelompok siswa.

Tinggi (cm)	Frekuensi
151-155	5
156-160	20
161-165	k
166-170	26
171-175	7

Jika median data diatas163,5 cm, tentukan nilai k!

Jawab :

Tinggi (cm)	Frekuensi
151-155	5
156-160	20
161-165	k
166-170	26
171-175	7
	58+k

163,5 terletak pada interval 161-165

Me = 160,5 + 5

= 160,5 + 5 = 163,5

= 160,5 + 5 atau (163,5 – 160,5)k = 20 + 2,5k

0,5k = 20 k = 40

E. Kuartil

Misalnya ada data sebanyak n . Kemudian tentukan 3 bilangan sehingga ketiga bilangan itu membagi data dalam 4 bagian yang sama.

Ketiga bilangan tersebut disebut kuartil, yaitu

Misalnya (data yang sudah diurutkan)

Letak kuartil :

adalah data ke

Untuk data berkelompok kuartil dicari dengan =Tb + l

: kuartil ke-i

Tb : batas bawah dari kelas yang mengandung kuarti ke-i

n : banyaknya data

F : jumlah frekuensi semua kelas interval yang lebih kecil dari kelas kuartil ke-i

f : frekuensi dari kelas kuartil ke-i.

Contoh :

Diketahui data ulangan 10 siswa :

70, 65, 70, 80, 85, 90, 65, 75, 80, 85,. Tentukan

Jawab :

65, 65, 70, 70, 75, 80, 80, 85, 85, 90.

terletak pada data ke (antara 65 dan 70)

Jadi = 65 + (70-65) = 65 + (5) = 65+ = 68

ke (antara 75 dan 80)

Jadi = 75 + (80-75) = 75 + (5) = 75+ = 77

terletak pada data ke (antara 85 dan 85)

Jadi = 85 + (85-85) = 85 + 0 = 85.

Contoh :

Diketahui distribusi frekuensi.

Nilai

Frekuensi

50 – 54

55 – 59

60 – 64

65 – 69

70 – 74

75 – 79

80 – 84

Tentukan kuartil ke-1!

Jawab :

adalah data ke sama dengan data ke 25 pada kelas ke-3, yaitu pada kelas (interval) 60 – 64.Tb = 59,5; l = 5; F = 4+8 = 12; f = 14; n = 100.

= Tb + l

= 59,5 + 5

= 59,5 + = 64,14

Desil dan Persentil

Dua ukuran data lain yang sering juga dipakai adalah Desil dan Perpentil yang masing-masing membagi data menjadi 10 dan 100 bagian. Menentuka desil dan persetil dari data terurut, prosedurnya sama seperti menentukan kuartil, hanya saja diganti dengan atau

Desil

Membagi data 10 bagian sama banyak setelah diurutkan (

Dm = .k

Dengan : Dm = desil

m = 1,2,3,…,9

b = tepi bawah kelas desil ke – m

n = ukuran data

= frekuensi kumulatif kurang dari sebelum kelas desil ke – m

= frekuensi dari kelas desil ke – m

k = pan jang kelas

Persentil

Membagi data menjadi 100 bagian sama banyak setelah diurutkan (

Pm = .k

Dengan Pm = persentil

m = 1,2,3,…,99

b = tepi bawah kelas persentil ke – m

n = ukuran data

= frekuensi kumulatif kurang dari sebelum kelas persentil ke – m

= frekuensi dari kelas desil ke – m

k = pan jang kelas

F. Modus (Mo)

Modus adalah data yang sering muncul dengan frekuensi terbanyak.

Contoh :

Tentukan modus dari data :

2, 3, 4, 7, 8, 2, 2 Mo = 2
3, 5, 6, 4, 4, 3 Mo = 3 dan 4 (bimodus)
4,5,6 tidak ada modus.
Modus untuk data berkelompok

untuk data modus berkelompok dapat dicari dengan rumus :

Mo = Tb + l

Mo : modus

Tb : batas bawah kelas modus

l : panjang kelas

: beda frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya.

: beda frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya.

Contoh :

Tentukan modus dari data berikut.

No	Nilai	Frekuensi
1	50 – 54	4
2	56 – 59	8
3	60 – 64	14
4	65 – 69	35
5	70 – 74	27
6	75 – 79	9
7	80 – 84	3

Jawab :

Frekuensi yang paling banyak terletak pada kelas ke-4, maka kelas ke-4 adalah kelas modus.

Tb = 64,5;

l = 5; ;

Jadi, Mo = 64,5 +5 = 64,5 +

Contoh :

Tentukan modus dan rata-rata data pada histogram dibawah ini.

13,5 18,5 23,5 28,5 33,5 nilai

Jawab :

Tb =23,5; l = 28,5 23,5= 5; ;

Mo = 23,5 +5

Mencari rata-rata :

Titik tengah (nilai tengah) masing-masing interval adalah 16, 21, 26, dan 31.

Rata-rata :

=5,78

C. UKURAN PENYEBARAN / UKURAN PENYIMPANGAN

Yang termasuk dalam ukuran penyebaran diantaranya :

a. Range

Range (sebaran/rentangan/jangkauan) = Rg adalah selisih antara data terbesar dengan data terkecil, atau Rg=data max – data min

b. Jangkauan semi- interkuartil (simpangan kuartil)

Jangkauan semi-interkuartil dirumuskan sbagai berikut :

dengan : = kuartil ke-3 dan kuartil ke-1

c. Deviasi rata-rata (DR)

Jika ditentukan n buah data dengan rata-rata , maka

DR=

d. Deviasi standar (simpangan baku)

SD= atau SD=

Untuk data yang berkelompok :

Range : data terbesar – data terkecil

Simpangan kuartil :

Devisiasi rata-rata : DR =

Devisiasi standar (simpangan baku) : SD=

Contoh :

Misal ada data 4, 6, 7, 11, 15, 21, 19. Tentukan simpangan kuartilnya !

Jawab :

4, 6, 7, 11, 15, 19, 21.

ada pada data ke =6, yaitu 19

ada pada data ke =2, yaitu 6.

Range (Rg) = 21-4 = 17

Jadi, simpangan kuartilnya untuk data diatas adalah 6,5.

Contoh :

Tentukan deviasi rata-rata dan deviasi standar dari data 1, 2, 3, 4, 5!

Jawab :

DR=

Deviasi standar dapat di cari dengan cara berikut :

-2

-1

SD = atau SD =

Contoh :

Pada suatu ujian yang diikuti oleh 50 siswa diperoleh rata-rata nilai ujian 35, dengan median 40 dan simpangan baku 10,. Karena rata-rata ilai terlalu rendah, maka semua nilai dikalikan 2, kemudian dikurangi 15, tentukan rata-rata nilai ujian, simpangan baku dan median yang baru.

Jawab :

Rata-rata nilai ujian 50 siswa

Jika semuanya dikalikan 2 dikurangi 15, maka

= 2(35) – 15 = 70 – 15 = 55

Me = 2(40) – 15 = 80 – 15 = 65

SD = 2 (10) = 20

Contoh :

Diketahui = 3,5; = 5,0; = 6,0; = 7,5; = 8,0.

Jika deviasi rata-rata nilai tersebut dinyatakan dengan rumus ; dengan , tentukan deviasi rata-rata nilai diatas!

Jawab :

DR=

RANGKUMAN

Ukuran tendensi pusat
Mean / nilai rata-rata
Data tunggal :

Data kelompok :

Median

Bilangan yang terletak ditengah setelah data diurutkan.

Data tunggal

Contoh :

12345678 Me = 5

234578 Me = =4,5

Data kelompok

Me=Tb + l

Me : median

Tb : tepi bawah

l : panjang kelas

F : jumlah frekuensi kelas-kelas yang lebih rendah dari kelas median.

f : frekuensi kelas median.

Tb yaitu batas bawah dikurangkan dengan 0,5. Sedangkan tepi batas atas ditambahkan dengan 0,5.

n : banyaknya data

Modus

Modus adalah data/ ukuran yang paling sering muncul.

Data tunggal : 2,3,4,5,5,6,7,8,5,4,9 Mo = 5
Data kelompok : Mo = Tb + l

Mo : modus

Tb : batas bawah kelas modus

l : panjang kelas

: beda frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya.

: beda frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya.

Ukuran letak kumpulan data

Kuartil bawah , Kuartil tengah , kuartil atas = Tb + l

: kuartil ke-i

Tb : batas bawah dari kelas yang mengandung kuarti ke-i

n : banyaknya data

F : jumlah frekuensi semua kelas interval yang lebih kecil dari kelas kuartil ke-i

f : frekuensi dari kelas kuartil ke-i.

Desil

Membagi data 10 bagian sama banyak setelah diurutkan (

Dm = .k

Dengan : Dm = desil

m = 1,2,3,…,9

b = tepi bawah kelas desil ke – m

n = ukuran data

= frekuensi kumulatif kurang dari sebelum kelas desil ke – m

= frekuensi dari kelas desil ke – m

k = pan jang kelas

Persentil

Membagi data menjadi 100 bagian sama banyak setelah diurutkan (

Pm = .k

Dengan Pm = persentil

m = 1,2,3,…,99

b = tepi bawah kelas persentil ke – m

n = ukuran data

= frekuensi kumulatif kurang dari sebelum kelas persentil ke – m

= frekuensi dari kelas desil ke – m

k = pan jang kelas

Ukuran penyebaran data

Jangkauan = nilai tertinggi – nilai terendah

Simpangan kuarti =

Simpangan rata-rata =

Simpangan baku =

EVALUASI

Diketahui data terurut berikut 3,5,7,8,9,12,13. Berapakah ?
1. 1,2, dan 3
2. 4, 5, dan 8
3. 5,6, dan 12
4. 5, 8, dan 12
5. Diketahui data terurut banya novel yang dimiliki delapan siswa adalah sebagai berikut 3,5,7,8,12,12,13,18. Berapakah nilai
  1. 6, 10, dan 12,5
  2. 10, 6, dan 12,5
  3. 10, 12,5 dan 6
  4. 12,5, 10 dan 6
  5. Untuk data terurut pada soal no. 3 mengenai banyak novel yang dimiliki delapan siswa, berapakah nilai rataan kuartilnya?
    1. 9,55
    2. 9,45
    3. 9,35
    4. 9,25
    5. Berapakah nilai rataan pada data berikut dengan mengunakan rataan sementara?

Nilai	4	5	6	7	8
Frekuensi	3	7	12	11	7

6,3
6,2
6,1
6,0
Berapakah rataan hitung dari data kelompok berikut?

Nilai	Frekuensi
30 – 39	2
40 – 49	5
50 – 59	8
60 – 69	11
70 – 79	7
80 – 89	4
90 – 99	3
Total	40

66,5
65,5
64,5
63,5
Berapakah nilai rataan hitung data pada no. 5 dengan menggunakan rataan sementara?
1. 64,5
2. 63,5
3. 62,5
4. 61,5

Nilai	Frekuensi
30 – 39	2
40 – 49	4
50 – 59	8
60 – 69	11
70 – 79	7
80 – 89	5
90 – 99	3
Total	40

Berapakah nilai modus dari data di bawah ini?

61,79
62,79
63,79
64,79
Berapakah nilai jangkauan antar kuartil dan simpangan kuartil dari data dibawah ini?

Nilai	Frekuensi
55-59	7
60-64	12
65-69	23
70-74	21
75-79	18
80-84	10
85-89	8
90-94	1

12,029
13,029
14,029
15,029
Dari data nomer 8, berapakah nilai simpangan kuartilnya?
1. 7,0145
2. 6,0145
3. 5,1045
4. 4,0145
5. Berapakah nilai simpangan baku dari data dibawah ini?

Nilai	Frekuensi
141-147	2
148-154	7
155-161	12
162-168	10
169-175	9
176-182	7
183-189	3

11,0
10,9
10,8
10,7

Kunci Jawaban

PELUANG

Standar kompetensi

Menggunakan aturan statiska, kaidah pemecahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah

Kompetensi dasar

1.4 Menggunakan aturan perkalian, permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah.

1.4 Menentukan ruang sampel suatu percobaan.

1.5 Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya.

Indikator

Menyusun aturan perkalian, permutasi dan kombinasi

Menggunakan aturan perkalian, permutasi dan kombinasi

Menentukan banyak kemungkinan kejadian dari berbagai situasi

Menuliskaaan himpunan kejadian dari suatu percobaan

Menentukan peluang kejadian melalui percobaan

Menentukan peluang suatu kejadian secara teorotis

1. KAIDAH PENCACAHAN (Counting Rules)

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering dihadapkan pada pemecahan masalah yang berkaitan dengan menentukan atau menghitung berapa banyak cara yang mungkin terjkadi dari sebuah percobaan. Sebagai ilustrasi simaklah contoh berikut.

Masalah pada contoh diatas dapat dipecahkan dengan menggunakan kaidah pemecahan (counting rules). Dalam kaidah pencacahan, banyak cara yang mungkin terjadi dari sebuah percobaan dapat ditentukan dengan memakai salah satu atau gabungan dari metode berikut ini:

a) Aturan pengisisan tempat yang tersrdia (filling slots)

b) Permutasi

c) Kombinasi

Contoh 1 :

misalkan tersedia dua buah celana masing-masing berwarna biru dan hitam, serta tiga buah baju masing-masing berwarna kuning, merah dan putih. Misalnya adalah, berapa banyak pasngan warna celana dan baju yang dapat disusun?

A. Aturan Pengisian Tempat (Filling Slots) Yang Tersedia ( Aturan Perkalian)

Untuk memahami kaidah pencacahan dengan menggunakan aturan pengisian tempat yang tersedia, perhatikan kembali persoalan contoh 1. Dalam contoh itu, tersedia:

2 buah celana masing-masing berwarna biru dan hitam
3 buah baju masing-masing berwarna kuning, merah dan putih

Banyak pasangan warna celana dan baju yang mungkin disusun dapat dicari dengan beberapa cara yang pernah kita pelajari sebelumnya, yaitu:

a) Diagram Pohon

Warna celana

Warna baju

Pasangan warna

k (kuning) (b, k)

b (biru) m (merah) (b, m)

p (putih) (b, p)

k (kuning) (h, k)

h (hitam) m (merah) (h, m)

p (putih) (h, p)

Berdasarkan pada diagaram pohon pada gambar tersebut, terlihat bahwa pasangan warna celana dan baju yang dapat disusun ada 6 macam. Keenam pasang warna celana dan baju itu adalah (b, k), (b, m), (b, p), (h,k), (h, m) dan (h, p). Pasangan (b, k), artinya celana berwarna biru dan baju berwarna kuning, …. dan seterusnya.

b) Diagram Silang

warna	k (kuning)	m (merah)	p (putih)
b (biru)	(b, k)	(b, m)	(b, p)
h (hitam)	(h, k)	(h, m)	(h, p)

Keterangan: ke kanan warna baju, sedangkan ke bawah warna celana.

Berdasarkan table silang diatas, terlihat bahwa pasangan warna celana dan baju yang dapat disusun ada 6 macam.

c) Diagram Terurut

Misalkan himpunan warna celana dinyatakan dengan A = {b, h} dan himpuna warna baju dinyatakan dengan B = {k, m, p}.

Himpuna pasangan terurut dari himpunan A dan himpunan B ditulis sebagai : A × B menyatakan banyak pasangan warna celana dan baju yang dapat disusun, yaitu ada 6 macam pasangan warna.

Berdasarkan deskripsi tersebut, dapat diambil kesimpulan secara umum sebagai berikut:

Misalkan terdapat n buah tempat tersedia, dengan:

adalah banyak cara untuk mengisi tempat pertama,

adalah banyak cara untuk mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi,

adalah banyak cara untuk tempat ketiga setelah tempat pertama dankedua terisi,

… , demikian seterusnya.

adalah cara untuk mengisi n tempat yang tersedia secara keseluruhan adalah

× × × … ×

Aturan tersebut dikenal sebagai aturan pengisian tempat yang tersedia (filling slots) dan sering pula disebut aturan dasar pembilang atau aturan perkalian. Perhatikan bahwa dalam menentukan banyak cara untuk mengisi n tempat yang tersedia tadi, digunakan operasi perkalian dalam aljabar biasa.

Contoh 2 :

Seorang hendak bepergian dari kota A menuju kota C melalui kota P atau kota Q. Dari kota A ke kota P ada 3 jalan dan dari kota P ke kota C ada 4 jalan. Dari kota A ke kota Q ada 2 jalan dan dari kota Q ke kota C ada 5 jalan. Dari kota P ke kota Q atau sebaliknya tidak ada jalan.

a) Gambarlah jaringan yang menunjukkan hubungan antara kota-kota A, P, Q dan C.

b) Berapa banyak cara yang dapat ditempuhuntuk bepergian dari kota A menuju kota C?

Jawab:

a) jaringan yang menunjukkan hubungan antara kota-kota A, P, Q dan C diperlihatkan pada gambar berikut ini.

b) Banyak cara bepergian dari kota A ke kota C melalui kota P.

Dari kota A ke kota P dapat dipilih dengan 3 cara

Dari kota P ke kota C dapat dipilih dengan 4 cara

Dari kota A ke kota C (elalui kota P) ada 3 × 4 =12 cara.

Banyak cara bepergian dari kota A ke kota C melalui kota Q.

Dari kota A ke kota Q dapat dipilih dengan 2 cara

Dari kota Q ke kota C dapat dipilih dengan 5 cara

Dari kota A ke kota C(melalui kota Q) ada 2 × 5 = 10 cara

Jadi banyak cara yan dapat ditempuh untuk bepergisn dari kota A menuju kota C (melalui kota P atau kota Q) seluruhnya ada 12 + 10 = 22 cara.

Pada contoh tersebut ada beberapa hal yang perlu dicatat.

1) Berpergian dari kota A ke kota C melalui kota P dan berpergian dari kota A ke kota C melalui kota Q adalah dua peristiwa yang saling lepas.

2) Banyak cara berpergian dari kota A ke kota C melalui kota P atau Q sama dengan banyak cara berpergian dari kota A ke kota C melalui kota P ditambah banyak cara berpergian dari kota A ke kota C melalui kota Q.

Dengan demikian, untuk peristiwa-peristiwa yang saling lepas dapat diambil kesimpulan secara umum sebagai berikut,

Misalkan terdapat n buah peristiwa yang saling lepas, dengan:

adalah banyak cara pada peristiwa pertama,

adalah banyak cara pada peristiwa kedua,

adalah banyak cara pada peristiwa ketiga,

…, dan seterusnya

adalah banyak cara pada peristiwa ke-n

Banyak cara untuk buah peristiwa itu secara keseluruhan adalah

+ + + … +

B. Permutasi

Faktorial dari Bilangan Asli

Faktorial dari suatu bilangan asli didefinisikan sebagai berikut.

Definisi :

Untuk setiap bilangan asli n, didefinisikan:

n! = 1 × 2 × 3 × … × (n – 2) × (n – 1) × n

Lambang atau notasi n! dibaca sebagai n factorial.

Didenifisikan pula bahwa:

1! = 1 dan 0! = 1

Dengan menggunakan definisi tersebut, factorial suatu bilangan asli dapat ditentukan. Sebagai contoh: 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24.

Permutasi dari Unsur-unsur yang Berbeda

Misalkan dari tiga buah angka 1, 2, dan 3 akan disusun suatu bilangan yang terdiri atas tiga angka dengan bilangan-bilangan itu tidak mempunyai angka yang sama. Susunan yang dapat dibentuk adalah:

123 132 213 231 312 321

Banyak cara untuk membuat susunan seperti itu adalah 3 × 2 × 1 = 6 cara.

Susunan yang diperoleh seperti diatas tersebut permutasi 3 unsur yang diambil dari 3 unsur yang tersedia.

Berdasarkan diskripsi diatas, permutasi dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi:

Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (tiap unsur itu berbeda) adalah susunan dari r unsur itu dalam urutan (r ≤ n).

Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsure yang tersedia dilambangkan dengan notasi :

Jika r = n maka banyak permutasi n unsure yang diambil dari n unsure yang tersedia (biasa disingkat: permutasi n unsure) dilambangkan dengan notasi:

Contoh 3:

Berapakah banayak permutasi dari 4 huruf A, B, C dan D ?

Jawab:

Sebuah contoh permutasi atau susunan 4 huruf dalam suatu urutan adalah

Huruf pertama huruf kedua huruf ketiga huruf keempat

B D A C

Huruf pertama dalam susunan itu dapat dipilih dengan 4 cara, yaitu huruf A, atau B, atau C, atau D.
Huruf kedua dapat dipilih dengan 3 cara. Misalnya, jika huruf pertama dipilih B maka huruf kedua yang dapat dipilih adalah D, atau A, atau C.
Huruf ketiga dapat dipilih dengan 2 cara. Misalnya, jika huruf pertama dipilih B dan huruf kedua dipilih D, maka huruf ketiga yang dapat dipilih adalah A, atau C.
Huruf kedua dapat dipilih dengan 1 cara. Misalnya, jika huruf pertama dipilih B huruf kedua dipilih D, dan huruf kedua dipilih A, maka huruf keempat tinggal 1 pilihan adalah huruf C.

Dengan menggunakan aturan perkalian, banyak susunan yang mungkin itu seluruhnya adalah 4 × 3 × 2 × 1 = 4! = 24

Berdasarkan contoh diatas, terlihat bahwa banyak permutasi 4 unsur adalah

= 4 × 3 × 2 × 1 = 4!

Secara umum dapat disimpulkan bahwa:

Banyak permutasi n unsure ditentukann dengan aturan:

= n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1 = n!

Contoh 4 :

Berapakah banyak permutasi 2 huruf yang diambil dari huruf-huruf A, B, C, D dan E?

Jawab:

Sebuah contoh permutasi atau susunan 2 huruf yang diambil dari huruf-huruf A, B, C, D dan E adalah:

Huruf pertama huruf kedua

D E

Huruf pertama dalam susunan itu dapat dipilih dengan 5 cara, yaitu huruf A, atau B, atau C, atau D, atau E.

Huruf kedua dapat dipilih dengan 4 cara. Misalnya jika huruf pertama dipilih D, maka huruf kedua yang dapat dipilih adalah huruf A, B, C, atau E.

Dengan menggunakan aturan perkalian, banyak susunan yang mungkin itu seluruhnya adalah:

5 × 4 = =20

Berdasarkan deskripsi pada contoh tersebut, terlihat bahwa banyak permutasi 2 unsur yang diambil dari 5 unsur yang tersedia adalah :

= 5 × 4 = =

Secara umu dapat disimpulkan bahwa:

Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsure yang tersedia ditentukan dengan aturan:

= n × (n – 1) × (n – 2) × … × (n – r + 1) =

Contoh 5:

Hitunglah tiap permutasi berikut:

Jawab:

= = = = 3 × 4 = 12

= 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120

Permutasi yang Memuat Beberapa Unsur Sama

Pada pasal ini akan dibahas bagaimana mencari permutasi jika dari n unsur yang tersedia memuat beberapa unsur yang sama. Simaklah contoh berikut ini.

Contoh 6:

Berapa banyak permutasi 3 huruf yang diambil dari nhuruf-huruf A, A dan B?

Jawab:

Unsur yang tersedia ada 3, yaitu huruf-huruf A, A dan B. Dari 3 unsur yang tersedia memuat 2 unsur yang sama yaitu huruf A.

Banyak permutasi 3 unsur yang memuat 2 unsur yang sama tersebut akan dicari melalui pendekatan banyak permutasi 3 unsur yang berbeda. Untuk tujuan itun, huruf yang sama (huruf A) dibubuhi indeks 1 dan 2 sehingga dioperoleh huruf-huruf , dan B (3 unsur yang berbeda).

Banayak permutasi 3 unsur yang berbeda ( , dan B) adalah 3! = 6 yaitu permutasi-permutasi:

B, B, B , B , B , B .

Permutasi-permutasi tersebut dikelompokkan sedemikian rupa sehingga dalam satu kelompok memuat permutasi yang sama apabila indeksnya dihapuskan.

Misalnya:

Kelompok Bdan B jika indekdeks dihapus diperoleh permutasi AAB.

Kelompok B dan B jika indekdeks dihapus diperoleh permutasi ABA.

Kelompok B dan B jika indekdeks dihapus diperoleh permutasi BAA.

Dalam tiap-tiap kelompok diatas terdapat 2! = 2 permutasi, yaitu menyatakan banyak permutasi dari unsur dan . Sedangkan dan menjadi unsure-unsur yang sama jika indeksnya dihapuskan.

Dengan demikian, banyak permutasi 3 unsur yang memuat 2 unsur yang sama dapat ditentukan sebagai berikut.

Banyak unsur yang tersedia di angka 3

P = = = 3

Banyak unsur yang sama diangka 2

Jadi banyak permutasi dari huruf-huruf A, A, dan B ada 3 macam. Kegita permutasi itu adalah AAB, ABA dan BAA.

Berdasarkan deskripsi pada contoh tersebut, dapat diambil kesimpulan secara umum sebagai berikut.

Misalkan dari n unsure yang tersedia terdapat k unsure yang sama (k ≤ n), maka banyak permutasi dari n unsure itu ditentukan dengan aturan :

P =

Misalkan dari n unsur yang tersedia terdapat k unsure yang sama, l unsur yang sama dan m unsure yang sama (k + l m ≤ n), maka banyak permutasi dari n unsure itu ditentukan dengan aturan:

P =

Contoh 7:

Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentu dari huruf-huruf B, E, R, J, E, J, E dan R?

Jawab:

Banyak unsur n = 8, banyak unsure yang tak sama k = 3 (untuk huruf E), k = 2 (untuk huruf R) dan m=2 (untuk huruf J).

P = = = 5 × 6 × 7 × 8 = 1.680

Jadi banyak unsure huruf yang dapat dibentuk dari huruf B, E, R, J, E, J, E dan R ada 1.680 macam.

Contoh 8:

Dari 9 buah kelereng, 2 buah berwarna merah, 4 buah berwarna kuning, dan 3 buah berwarna hitam. Berapa banyak cara untuk menyusun 9 buah kelereng itu secara berdampingan?

Jawab:

P = = = 5 × 7 × 4 × 9 = 1.260

Jadi banyak cara untuk menyusun 9 buah kelereng secara berdampingan ada 1.260 macam.

Permutasi Siklis

Misalkan tiga orang A (Ani), B (Boy), dan C (Carli) menempati tiga buah kursi yang mengelilingi sebuah meja bundar. Susunan penempatan tiga orang itu diperlihatkan pada gambar berikut.

(a) (b)

Gambar 2-1

Perhatikan bahwa susunan ABC, susunan BCA dan susunan CAB adalah sebuah susunan yang sama, yaitu susunan yang diperlihatkan pada gambar 2-1a.

Susunan ACB, susunan CBA dan susunan BAC adalah sebuah susunan yang sama, yaitu susunan yang diperlihatkan pada gambar 2-1b.

Jadi, banyak susunan dari tiga huruf A, B dan C yang ditempatkan pada sebuah kurva tertutup yang berbentuk lingkaran seluruhnya ada :

2! = 2 macam

Penenpatan unsur-unsur dengan cara seperti Gambar 2-1 disebut permutasi siklis atau permutasi sirkuler (circular permutation).

Berdasarkan deskripsi diatas, dapat disimpulkan secara umu sebagai berikut,

Misalkan tersedia n unsure yang berbeda. Banyak permutasi siklis dari n unsure itu ditentukan dengan aturan:

= (n – 1)!

Contoh 9:

Misal ada 4 orang A (Ani), B (Boy), C (Carli) dan D (Doni) menempati 4 buah kursi yang mengelilingi sebuah meja bundar. Berap[a banyak susunan yang dapat terjadi?

Jawab:

Banyak unsur n = 4, maka bnanyak permutasi siklis dari 4 unsur itu seluruhnya ada

= (4 – 1)! = 3! = 1 × 2 × 3 = 6

Jadi, banyaknya susunan yang dapat terjadi ada 6 macam.

C. Kombinasi

Pengertian Kombinasi

Misalkan dari 3 huruf A, B dan C akan diambil dua huruf tanpa memperhatikan urutannya. Oleh karena urutan tidak diperhatikan, maka susunan AB = susunan BA, susunan AC = susunan CA, begitu pula susunan BC = susunan CB. Dengan demikian, hanya hanya terdapat 3 pilihan, yaitu susunan AB, AC, dan BC. Pilihan yang dilakukan dengan cara seperti itu disebut kombinasi 2 unsur diambil dari 3 unsur yang tersedia. Jadi, kombinasi dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi:

Kombinasi r unsure yang diambil dari n unsure yang tersedia (tiap unsure berbeda) adalah suatu pilihan dari r unsure tanpa memperhatikan urutannya (r ≤ n)

Banyak kombinasi r unsure yang diambil dari n unsure yang tersedia dilambangkan dengan notasi

Untuk menentukan banyak kombinasi r unsure yang diambil dari n unsure yang tersedia, dapat diambil kesimpulan secara umu sebagai berikut.

Banyak kombinasi r unsure yang diambil dari n unsure yang tersedia ditentukan dengan aturan

Banyak kombinasi r unsure yang diambil dari n unsure yang tersedia dapat pula diartikan sebagai banyak cara memilih r unsure yang diambil dari n unsure yang tersedia tanpa memperhatikan urutannya.

Contoh 10:

Hitunglah kombinasi-kombinasi berikut ini:

Jawab:

a) = = = = 2 × 5 = 10

b) = = = = =

= 3 × 2 × 11 × 12 = 792

Contoh 11:

Tiga buah huruf diambil dari huruf-huruf P, R, O, D, U, K, S dan I. Berapa banyak cara memilih ketiga huruf itu jika urutan huruf tidak diperhatikan?

Jawab:

Banayak unsure yang tersedia n = 8, yaitu huruf-huuruf P, R, O, D, U, K, S dan I. Diambil 3 huruf, r = 3,. Karena urutan tidak diperhatikan maka banayak cara memilih merupakan kombinasi 3 unsur yang diambil dari 8 unsur yang tersedia.

= = = = = 7 × 8 = 56

Jadi, banyak cara memilih 3 huruf dari huruf-huruf P, R, O, D, U, K, S dan I seluruhnya 56 macam.

Contoh 12:

Hitunglah nilai n, jika = – 2n.

Jawab:

= = =

Karena = – 2n = n(n – 2), maka diperleh hubugan: = 1 ↔ – 4n +

3 = 24 ↔ – 4n + 21 = 0 ↔ (n – 7) (n + 3) = 0 ↔ n = 7 atau n = -3

Ingat bahwa nilai n harus positif, sehingga nilai n yang memenuhi adalah n = 7.

Contoh 13:

Dari 12 orang yang terdiri dari 7 wanita dan 5 pria akan dibentuk delompok delegasi yang beranggotakan 4 orang, berapa banyak kelompok yang dapat dibentuk jika disyaratkan :

a. setiap orang (12 orang) memiliki hak dipilih yang sama untuk mengikuti kelompok delegasi.

b. kelompok delegasi teridiri atas 2 orang pria dan 2 wanita.

Jawab :

Memilih 4 orang dari 12 yang tersediamerupakan kombinasi 4 unsur yang diambil dari 12 unsur yang tersedia.

Memilih 2 orang pria dari 5 orang pria merupakan kombinasi 2 unsur dari 5 unsur.

Memilih 2 orang wanita dari 7 orang wanita merupakan kombinasi 2 unsur dari 7 unsur

Dengan aturan perkalian, maka banyaknya kelompok delegasi yang terdiri dari 2 pria dan 2 wanita adalah

= 10 x 21 = 210

Jadi jumlah kelompok delegasi yang terdiri atas 2 pria dan 2 wanita adalah 210 kelompok.

Kombinasi dengan pengulangan

Jika urutan tidak diperhatikan dan objek bisa dipilih lebih dari satu kali, maka jumlah kombinasi yang ada adalah :

Dengan n : jumlah objek yang bisa dipilih

r : jumlah yang harus dipilih.

Contoh :

Jika kamu pergi kesebuah toko donat, toko tersebut menyediakan 10 jenis donat berbeda. Kamu ingin membeli 3 donat, maka kombinasi yang dihasilkan adalah

2. PENGERTIAN PERCOBAAN, RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN

A. Percobaan dan hasil percobaan

Kegiatan melempar sekeping mata uang logam (satu atau beberapa kali) dinamakan percobaan. Hasil percobaan pada pelemparan sekepng mata uang logam adalah munculnya sisi gambar G atau munculnya sisi tulisan T. Perhatikan gambar 2-2 disamping.

Pada percobaan melempar sebuah dadu berisi enam, hasil yang mungkin muncul adalah salah satu dai enam sisi yaitu mata dadu 1, 2, 3, 4, 5 atau 6. Perhatikan gambar 2-3 disamping.

A. Percobaan dan hasil percobaan

A. Ruang contoh atau ruang sampel

Himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul dalam percobaan melempar sekeping mata uang logam, ditulis {G, T}, disebut ruang contoh atau ruang sampel untuk percobaan itu. Ruang contoh biasanya diberi lambang huruf S. Angggota-anggota dari ruang contoh disebut titik contoh. Dalam teori himpunan, ruang contoh adalah himpunan semesta, sedangkan titik contoh adalah anggota-anggota dari himpunan semesta itu.

Berdasarkan deskripsi di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa :

Ruang contoh atau ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada sebuah percobaan.
Titik contoh atau titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang contoh atau ruang sampel.

Teorema

Jika ruang sempel S terdiri dari titik-titik sempel yang serupa, sehingga masing-masing memiliki peluang yang sama dan E adalah kejadian yang diharapkan terjadi, maka P(E)=

Dengan n(E) adalah jumlah anggota E dan n(S) adalah jumlah anggota ruang sempel.

Frekuensi harapan

Definisi :

Secara formal frekuensi harapan di definisikan sebagai berikut.

Frekuensi harapan suatu kejadian pada percobaan yang dilakukan N kali adalah hasil kali peluang kejadian tersebut dengan banyaknya percobaan dirumuskan

Contoh :

Jawab :

Jadi , frekuensi harapan munculnya sisi gambar dalam 10 kali pelemparan adalah 5 kali.

Sekeping uang logam dilempar 10 kali. Berapa frekuensi harapan munculnya sisi gambar?

Frekuensi relatif kejadian E, ditulis , adalah banyakanya kemunculan E dibagi dengan banyaknya percobaan.

B. Kejadian

Himpunan bagian dari ruang contoh S disebut kejadian atau peristiwa (event).

1. Kejadian sederhana atau kejadian elementer

Kejadian sederhana atau kejadian elementer adalah suatu kejadian yang hanya mempunyai satu titik contoh.

Pada percobaan melempar dadu berisi enam, kejadian-kejadian sederhana adalah:

{1} yaitu kejadian munculnya mata dadu 1, dan
{6} yaitu kejadian munculnya mata dadu 6.

2. Kejadian majemuk

Kejadian majemuk adalah suatu kejadian yang mempunyai titik contoh lebih dari satu. Pada percobaan melempar dadu berisi enam, beberapa kejadian majemuk diantaranya adalah :

{3, 4} yaitu kejadian munculnya mata dadu lebih dari 2 tetapi kurang dari 5.
{2, 4, 6} yaitu kejadian munculnya mata dadu genap.

Ada dua notasi yang biasa digunakan untuk mengkombinasikan dua kejadian atau lebih.

(1). Notasi disebut juga irisan , dalam logika matematika disebut “dan” (konjungsi)

(2). Notasi disebut gabungan, dalam logika matematika disebut oprasi “atau” (disjungsi)

Untuk lebih memahami kejadian majemuk mari kita ikuti percobaan berikut. Sebuah dadu dilempar satu kali. Misalkan adalah kejadian munculnya mata dadu bernomer bilangan prima. Misalkan pula adalah mata dadu munculnya nomer bilangan ganjil, maka

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

= {2, 3, 5}

= {1, 3, 5}

3. PELUANG SUATU KEJADIAN DAN KOMPLEMENNYA

Komplemen suatu kejadian E ditulis , adalah kejadian tidak terjadinya kejadian E, Contoh : misalkan kita melakukan percobaan mengambil sebuah kartu dari delapan kartu secara acak dari sebuah kontak. S = {1,2,3,4,5,6,7,8}

Jika E = {1,3,5,7} = kejadian terambilanya kartu bernomor ganjil, maka

= kejadian tidak terambilnya kartu bernomer ganjil

Jika = {1} = kejadian kartu bernomer 1, maka

= kejadian tidak terambilnya kartu bernomer 1 = {2,3,4,5,6,7,8}

Perhatikan bahwa himpunan komplemen suatu kejadian E adalah himpunan semua anggota S yang tidak termasuk himpunan E,

Karena merupakan suatu kejadian (himpunan bagian S), maka peluang dapat dihitung

P( hubungan P(E) dan P( dapat diturunkan sebagai berikut

P(E)+P(

Pada percobaan diatas P(E)= .

Sehingga, P(

Contoh :

Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 3 bola putih dan 2 bola hijau. Dari dalam bola diambil bola secara acak. Tentukan peluang terambil bola bukan hijau.

Jawab :

S = {1,2,3,…,9,10}, n(S) = 10

Misal H = terambil bola warna hijau.

Bola hijau ada 2 maka n(H) = 2.

P(H)=

= kejadian terambil bola bukan hijau.

Jadi, P( = 1 – P(H)

= 1 –

Cara lain :

Bola bukan hijau berarti bola merah atau bola putih sebanyak 8, maka n( =8.

Jadi, P(

4. PELUANG DUA KEJADIAN

Peluang terjadinya kejadian A atau B adalah P(A )

n(A ) = n(A) + n(B) – n( )

Maka, P(A ) = P(A)+P(B) – P( )

5. PELUANG KEJADIAN SALING LEPAS

Kejadian A dan B “saling lepas” jika A dan B tidak dapat terjadi bersama-sama sehingga peluang dua kejadian saling lepas adalah

P(A ) = P(A)+P(B)

6. PELUANG KEJADIAN SALING BEBAS

Jika terjadinya peristwa yang satu tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa yang lain, maka dua kejadian disebut saling bebas, dan dinyatakan dengan :

P( ) = P(A)P(B)

7. KEJADIAN BERSYARAT

Suatu peristiwa B dikatakan bersyarat dari peristiwa A jika terjadinya B hanya dapat berlangsung jika kejadian A berlangsung dan dinyatakan oleh

RANGKUMAN

A. Notasi Faktorial

Definisi : 1.2.3.4.5…..(n-1).n = n!

Dengan ketentuan : 1!=0!=1

Permutasi

Permutasi adalah penyusunan unsur-unsur (obyek) dengan memperhatikan urutan.

Notasi permutasi :

Rumus :

C. Permutasi Siklis

P=(n-1)!

Permutasi dengan banyaknya unsur sama

E. Kombinasi

Kombinasi adalah suatu susunan unsur-unsur yang tidak memperhatikan urutanya

F. Peluang suatu kejadian

Peluang A, ditulis P(A)=

G. Nilai ekspresi suatu kejadian E(A)

E(A)=n.P(A)

n = banyaknya suatu kejadian.

H. Kejadian majemuk
Kejadian Saling Lepas

P(A ) = P(A)+P(B)

Dua kejadian saling bebas

P( ) = P(A)P(B)

Kejadian Bersayarat

EVALUASI

Kota A dan kota B dihubungkan oleh 3 alternatif jalan. Kota B dan kota C juga dihubungkan dengan 3 alternatif jalan. Jika kita bepergian dari kota A ke kota C melalui kota B, ada berapa rute berbeda yang dapat ditempuh?
1. 3
2. 9
3. 6
4. 12
5. Berapakah nilai dari (3+5)!
  1. 43.200
  2. 4.320
  3. 40.320
  4. 4.032
  5. Dari empat calon ketua OSIS, berapa kemungkinan susunan yang mungkin terjadi untuk menentukan sekaligus ketua, wakil ketua, bendahara dan sekertaris?
    1. 8
    2. 12
    3. 16
    4. 24
    5. Berapakah susunan huruf yang dapat di bentuk dari kata “LUANG” jika susunan huruf tersebut terdiri atas lima huruf berbeda (tidak ada huruf yang terulang dalam susunan)?
      1. 120
      2. 25
      3. 50
      4. 240
      5. Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari kata “GANGGANG”?
        
        240 huruf
        
        420 huruf
        
        204 huruf
        
        402 huruf
        
        Petugas perpustakaan akan menyusun tiga buku matematika yang sama, dua buku ekonomi yang sama dan empat buku sastra yang sama secara berderet pada sebuah rak buku. Berapakah banyak susunan berbeda yang dapat dibuat?
        
        1.620 cara
        
        2.160 cara
        
        1.206 cara
        
        1.260 cara
        
        Raymond, Dina, Emy, Rizky, Rizal, dan Eko akan mengadakan sebuah rapat tertutup disuatu meja berbentuk lingkaran. Akan ada berapa cara berbeda sehingga kedudukan seorang peserta rapat terhadap peserta rapat lainnya berbeda.?
        
        240
        
        120
        
        100
        
        200
        
        Berapakah peluang munculnya mata dadu kurang dari 5, jika dadu dilempar sekali?
        
        Dua uang logam dilempar bersamaan sekali, berapa peluang keluarnya satu sisi gambar?
        
        Dua buah dadu dilempar bersamaan sebanyak 36 kali. Berapakah frekuensi harapan munculnya dua mata dadu berjumlah 11 dan 12?
        
        1
        
        2
        
        3
        
        4

Kunci Jawaban

DAFTAR PUSTAKA

Noormandiri. B.K, 2004, Matematika Program IPA SMA kelas XI, Erlangga : Jakarta.

Badruzzaman farid Hijri, 2009, Rumus saku Matematika SMAuntuk kelas 1,2,&3, Kawan Pustaka : Jakarta.

Sulistiyono, Kurnianingsih Sri, Kuntarti,2006, Matematika SMA untuk kelas XI, Gelora Aksara Pratama : Jakatra.

Kategori:

KARYAKU

1 Comment

Tagged with:

modul

Comments on: "Modul SMA Statistika" (1)

sryandyasmoko said:

17 Mei 2012 pukul 10:14

nice

adisigitnugroho

Just another WordPress.com site

Modul SMA Statistika

STATISTIKA

Comments on: "Modul SMA Statistika" (1)

Tinggalkan komentar Batalkan balasan

Tulisan Terakhir

Blogroll

Kategori

adisigitnugroho

Just another WordPress.com site

Modul SMA Statistika

STATISTIKA

Bagikan ini:

Terkait

Comments on: "Modul SMA Statistika" (1)

Tinggalkan komentar Batalkan balasan

Tulisan Terakhir

Blogroll

Kategori